平稳模型 - Stats Orbit

Abstract¶

本节首先会介绍平稳性的概念，之后介绍常见的平稳模型及其性质，最后介绍模型的可逆性。

Keywords:MAARARMAStationarityInvertibility¶

为了更好地分析序列的统计性质，我们往往会对序列做一些假设，所以本节引入平稳性的概念。平稳性分为强平稳性和弱平稳性：

对于 $q$ 阶参数为 $(\theta_1,\cdots,\theta_q)^\top$ 的滑动平均序列 $\{Y_t\}$ ，自相关系数为

\rho_{k}=\begin{cases}\dfrac{-\theta_{k}+\theta_{1}\theta_{k+1}+\theta_{2}\theta_{k+2}+\cdots +\theta_{q-k}\theta_{q}}{1+\theta_{1}^{2}+\theta_{2}^{2}+\cdots+\theta_{q}^{2}},\quad & k=1,2,\ldots,q, \\ 0,\quad &k>q.\end{cases}

证明

首先因为白噪声序列 $\{e_t\}$ 是两两无关的，所以由方差的运算性质可得 $Y_t$ 的方差：

\begin{align*}\gamma_0=\mathrm{Var}(Y_{t})&=\mathrm{Var}(e_{t}-\theta_{1}e_{t-1}-\cdots-\theta_{q}e_{t-q})\\ &=(1+\theta_{1}^{2}+\cdots+\theta_{q}^{2})\sigma_{e}^{2}. \end{align*}

对于滞后阶数 $k\leq q$ 的情况， $k$ 阶自协方差为:

\begin{align*}\gamma_k=\mathrm{Cov}(Y_{t},Y_{t-k})=\mathrm{Cov}(e_{t}-\theta_{1}e_{t-1}-\cdots-&\theta_{q}e_{t-q},e_{t-k}-\theta_{1}e_{t-k-1}-\cdots-\theta_{q}e_{t-k-q})\\ =\mathrm{Cov}(e_{t}-\theta_{1}e_{t-1}-\cdots-&\theta_{k}e_{t-k}-\cdots-\theta_{q}e_{t-q},\\ &e_{t-k}-\theta_{1}e_{t-k-1}-\cdots-\theta_{q-k}e_{t-q}-\cdots-\theta_{q}e_{t-k-q})\\ =(-\theta_{k}+\theta_{k+1}\theta_{1}+\cdots+\theta_{q}&\theta_{q-k})\sigma_{e}^{2}. \end{align*}

所以 $k(k\leq q)$ 阶自相关系数为

\rho_{k}=\frac{\gamma_{k}}{\gamma_{0}}=\frac{-\theta_{k}+\theta_{k+1}\theta_{1}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_{q}}{1+\theta_{1}^{2}+\cdots+\theta_{q}^{2}}.

对于滞后阶数 $k>q$ 来说，因为 $\gamma_k=0$ ，所以相关系数为 0。